数学思维的重要性已经毋庸置疑，那么如何用一本书让即便是数学基础不好的人也能学会数学思维呢？阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）的这本《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》就做到了这点，这本书不讲公式，生动的比喻和案例让数学思维变得直观有趣，帮你从“思维混乱”走向“头脑清晰”。

本文节选自书中【数学如何改变世界】一节。

如果你仍然对数学能够为你的生活带来的价值感到怀疑，也许一堂简短的历史课可以让你认识到它的强大力量。历史往往会以有趣的方式呈现出不同视角，这取决于讲述者是谁，以及他们希望历史信息起到何种作用。我们很少会听说数学家是如何改变世界的，但这是事实。纵观历史，数学家对人类文明做出的非凡贡献数不胜数。

让我们从古代苏美尔人说起，苏美尔文明是世界上已知的最早文明之一，常被誉为“文明的摇篮”。苏美尔人生活在美索不达米亚，也就是今天的伊拉克境内，大约在公元前 5000 年至公元前 2000 年繁荣发展。苏美尔文明的兴盛部分得益于人类学会了耕种农田，这增加了粮食的供应，进而促进了人口增长以及大型人口中心（城邦）的建立。

一个不断壮大的人口中心需要依靠什么来积累财富呢？需要依靠数学。具体来说，苏美尔人需要一个记数系统和基本的计算方法来帮助他们记录土地和税收情况。出自苏美尔城市乌尔的古代泥板向我们展示了乌尔国王舒尔吉（Shulgi，约公元前 2094 年至公元前 2046 年在位）如何创建了第一个“数学国度”。

舒尔吉曾命人创作赞美诗，歌颂他几乎所有领域的卓越成就（甚至在统治期间以神明自居），因此我们无法确定他的数学天赋究竟如何。但他的确统一了度量衡，这是管理好国家财政的关键一步。
（你能想象在没有统一度量衡的情况下统治一个帝国吗？）

苏美尔人还创造了最早的记数系统之一（多亏了那些泥板，这至少是我们有据可查的最早的记数系统之一）。图 17.1 是用楔形文字写成的 1 到 59。

我们来锻炼一下观察模式的能力，请花一分钟仔细观察上图。你看到了什么？你有没有注意到，11 是由表示 10 的符号和表示 1 的符号并排组合而成，而且这种模式一直延续到了 59 ？这与我们今天书写数目的方式很相似，都是借助位值写出大于 9 的数。

但他们的记数系统和我们的记数系统有一个关键的区别：一旦达到 60，他们就会重新使用表示 1 的那个符号，然后通过位值来表示更大的数。直到今天，这种六十进制系统依然有迹可循，比如我们记录时间的方式。

不过，苏美尔人的记数系统有一个小问题：1 和 60是由同一个符号表示的。该系统缺少与 0 对应的符号来指明 60 是一组 60，代表 60 的符号右边没有其他的数。换言之，没有 0，我们就无法对那些依靠位置或位值来理解的数加以区分。

在某一时期，可能是在古印度，也可能是在不同时期的多个文明中，人们使用某个符号来指代“空”（零）位。这个符号看似无足轻重，但如果没有它，人们就很难清晰地表述较大的数量。一旦有表示 0 的符号出现，我们借助位值表示数的能力便不再受限。

古印度、玛雅和古埃及等古代文明曾创造出各样迷人的数学，并对后来的文化产生了影响。更确切地说，他们并未创造数学，而是注意到了数学的力量，并加以利用；他们找到了记录数学的方法，并用以造福自身。毕竟，数学是对我们周遭现象的研究；我们的任务是注意到这些现象，并加以解释。纵观世界各地的历史文化，你会发现，正是因为人们需要用数学来解决问题，这才有了无数的数学“发现”。

毕达哥拉斯无疑是古代最著名的数学家之一。毕达哥拉斯定理（即勾股定理，你在第 13 章中已学过）可以帮助我们理解基础几何，引领我们走向更高等的数学。但该定理是否为毕达哥拉斯所发现，这一点仍有争议。有证据表明，古代中国和古印度（或许也包括其他地区）早已知晓该定理，即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。

毕达哥拉斯可能是在旅途中了解到这一定理的。他曾创立哲学学派——毕达哥拉斯学派，名下有诸多成果，但事实上，这些成果可能是由他人所证明或发现的。不过，无论其来源如何，该定理都是一项至关重要的发现，它为数学、物理、艺术、建筑、地貌学等领域的更多发现奠定了基础。它是文明的重要基石之一。

西方人所了解到的历史都是从古巴比伦延伸至古希腊，再到文艺复兴时期的欧洲，（几乎）完全聚焦于西方数学家。其实许多非西方文化在此前或同一时期也对数学做出了贡献，但相关记载寥寥无几。一些数学传统以口头形式或其他形式（如音乐和艺术）存在，因而难以为外部文化所了解。不过，每年都有更多资料被发现；也许十年后，我们就会有一本新书要写——探讨非西方的数学发现是如何改变世界的。

诚如西方学生所了解到的，自古希腊至欧洲文艺复兴，在此期间，代数领域曾有重大成果。几个世纪里，代数学的某些方面在不同文化中都有所应用，最终，9世纪的波斯数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子密（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi）给出了代数的定义。花拉子密在其综合性著作《代数学》（The Compendious Book on Calculation by Completion and  Balancing）中规范了求解一次方程和二次方程的方法。他还提出了算法的概念，为其他数学家规范其运算过程奠定了基础。

可以说，正是因为花拉子密的贡献，代数才能成为一门独立的学科，供我们在学校里学习。不过，如果你讨厌代数，还请不要怪罪花拉子密。代数只是对你曾经学习过的运算和规则加以形式化和抽象化。花拉子密意识到了这一点，并赋予其语言，以便他人在需要时可以使用。

现在，让我们将时间快进到 17 世纪的欧洲。德国天文学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）因为想省下买酒的钱，意外开辟了一个全新的数学领域。据说，开普勒发现当时用来测量酒商售出酒量的方法存在缺陷，顾客只能任凭酒商宰割，后者可能会超额收费。

开普勒希望找到一种精确的方法来测量酒桶中的酒量，于是他创造了一种计算曲面（即酒桶）内部体积的方法。随后，他将自己的研究成果出版成书，名为《测量酒桶的新立体几何》（The New Solid Geometry  of Wine Barrels）。这本书被视为积分学的奠基之作，后来的数学家也都借鉴了开普勒的研究成果。

尽管大多数人在日常生活中并不会用到微积分，但它在工程、医学等众多领域中是至关重要的组成部分。微积分被用于计算许多领域中的最小值和最大值，甚至还被用于计算信用卡的最低还款额。下次当你支付信用卡账单或以合理的价格买到酒时，还请感谢数学！

还有一些更为常见的时刻，你也应该感谢数学：每当你打开电灯、看电视、在家听音乐、使用计算机，或者做其他需要用电的事情时。你可能知道，是托马斯·爱迪生（Thomas Edison）改进了白炽灯，但你可能没听说过让电力走进千家万户的查尔斯·普罗特斯·斯泰因梅茨（Charles Proteus Steinmetz）。斯泰因梅茨（原名卡尔·奥古斯特·鲁道夫·斯泰因梅茨）出生于如今的波兰，是一位数学家，他的数学发现促成了电路的诞生，正是这一重要部件使得电力能够被传输到我们需要的地方。

斯泰因梅茨的发现涉及一个问题，可能会让你回想起高中时代的记忆（甚至是噩梦），那就是虚数。几个世纪里，数学家一直被一个在数学上看似不可能的情况困扰：没有任何一个数与自身相乘会得出负数，因此负数的平方根似乎是不可能存在的。但因为某些数学运算的结果会包含这种情况，所以必须有某种方法来定义负数（或者更确切地说，–1）的平方根。

数学家将这些平方根称为“虚数”，却一直没有真正使用过它们，直到斯泰因梅茨发现可以借助虚数简化复杂的电路公式，从而使电路的制造变得更加简单并得到普及。如果没有斯泰因梅茨的数学发现，毫不夸张地说，我们可能还生活在黑暗中。

数学公式是许多科学发现的核心，这些发现改变了历史的进程。艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的万有引力定律、爱因斯坦的相对论、热力学第二定律和混沌理论都涉及复杂的数学知识。

在世界各地的文化中，数学都处于文明的核心位置。古代文明在社会发展的过程中需要数学，最初的数学发现引申出了更为复杂的发现；如今，现代生活的方方面面几乎都可以追溯至某种数学发现或理解。

因此，当你下次听到有青少年抱怨，不知道什么时候才能用上他们正在学习的数学时，你可以将你知道的告诉他们：数学是一切的基础。如果没有那些非凡的思想家留心观察数学现象，并借助其力量推动人类进步，我们的文明何以发展到如今的高度？数学，是诸多职业以及日常生活诸多方面的基础。